Note ini mengandung fitur yang hanya ada pada versi beta, buka di https://kyanewt.vercel.app/note/6a4e2b3d-ae5a-4ce9-9f0e-b65954affee7

Pemecahan Masalah link

Soal 1 (40 poin) Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai hasil bagi dua bilangan bulat $\frac{p}{q}$​ dengan $q \neq 0$. Jika ditulis dalam bentuk desimal, bilangan rasional selalu memiliki representasi desimal yang berhenti (terminating) atau berulang (repeating). Contoh bilangan rasional: −8, 42.314, dan 42.

Nesy dan Nyoo sedang bermain dengan garis bilangan. Pada sebuah interval inklusif $[0, n]$, dengan bilangan bulat $n \geq 4$. Mereka akan bermain secara bergantian. Nesy mulai terlebih dahulu, yaitu dia akan memilih sebuah bilangan rasional pada rentang $[0, n]$. Pemain selanjutnya hanya boleh memilih bilangan rasional lain yang berjarak lebih dari 1 dari semua angka yang sudah dipilih sebelumnya oleh salah satu pemain. Permainan akan berlanjut, hingga seorang pemain yang tidak dapat memilih bilangan rasional dinyatakan kalah. 

Contoh: Jika $n = 8$ dan Nesy memilih bilangan pertamanya adalah 6, maka Nyoo tidak boleh memilih bilangan rasional pada rentang $[5, 7]$. Misal Nyoo memilih angka 1, akibatnya Nesy tidak boleh memilih bilangan pada rentang $[0, 2]$ dan $[5, 7]$.

Jika kedua pemain bermain secara optimal, mana pernyataan yang paling benar?

• Nyoo selalu menang.
• Nesy selalu menang.
• Nesy menang jika dan hanya jika $n$ adalah bilangan ganjil.
• Nyoo menang jika dan hanya jika $n$ adalah bilangan ganjil.
• Nyoo menang jika dan hanya jika $n \geq 8$.

---

Soal 2 (80 poin) Diberikan sebuah papan grid berukuran $7 \times 7$ yang diisi oleh huruf I, O, dan A. Anda sangat menyukai kata IOAI, dan penasaran ada berapa banyak kata IOAI yang dapat dibentuk pada papan ini?

I I I I I I I
I O A O O A I
I O A A A A I
I O O I A O I
I O O O O O I
I O A A A O I
I I I I I I I

Untuk menjawab pertanyaan ini, kita perlu mendefinisikan apa yang dimaksud dengan sebuah path “4 huruf” pada papan.

1. Mulai dari suatu petak.
2. Bergerak ke salah satu petak tetangga dari 8 arah (atas, bawah, kiri, kanan, atau diagonal).
3. Bergerak lagi ke salah satu dari 8 tetangga.
4. Bergerak sekali lagi ke salah satu dari 8 tetangga, lalu berhenti.

Sehingga path menghasilkan tepat 4 huruf dari petak awal sampai petak akhir. Perhatikan bahwa suatu petak boleh dikunjungi lebih dari satu kali. Sebagai ilustrasi, berikut merupakan contoh pembentukan kata IOAI yang sudah ditandai berwarna merah cetak tebal yaitu dari baris 1 kolom 1 hingga baris 1 kolom 4.

---

Logika Matematika link

Soal 3–4 Tim peneliti melakukan pengambilan sampel berat badan terhadap $N$ orang yang berasal dari suatu populasi mahasiswa. Variansi sampel dari berat badan $N$ orang ini adalah $X$. Keesokan harinya, hasil kajian lebih lanjut menunjukkan bahwa mereka perlu mengambil sampel tambahan sebanyak $N$ orang lagi pada pengambilan sampel batch kedua. Kebetulan, sampel berat badan dari semua $N$ orang pada batch kedua adalah sama persis dengan berat badan pada sampel batch pertama. Variansi gabungan semua sampel yang baru (berat badan dari $2N$ orang) adalah $Y$.

Soal 3 (40 poin) Manakah pertanyaan yang benar?

• $X < Y$
• $X = Y$
• $X > Y$
• Tidak bisa ditentukan antara $X < Y$ atau $X > Y$
• $X = 2Y$
• $Y = 2X$

Soal 4 (80 poin) Misal, peneliti tersebut mengambil kembali sampel data pada batch ketiga sebanyak $M$ orang, dengan rataan adalah setengah dari rataan data yang sudah dikumpulkan dari batch pertama dan kedua (sebanyak $2N$ orang). Jika digabung, yaitu sebanyak $2N + M$ orang, rataan baru menjadi $\frac{3}{4}$​ dari rataan data gabungan batch pertama dan kedua.

Berapakah nilai $M$?

---

Probabilitas link

Soal 5–7 Di sebuah bioskop, terdapat 3 jenis film: film aksi (🔫), film keluarga (👨‍👩‍👧‍👦), dan film horor (👻). Berdasarkan data pengunjung, probabilitas menonton masing-masing film adalah.

• P(🔫) = 40%
• P(👨‍👩‍👧‍👦) = 35%
• P(👻) = 25%

Bioskop ini juga menyediakan 2 jenis snack: popcorn (🍿) dan soft drink (🥤). Data pembelian snack berdasarkan jenis film yang ditonton adalah sebagai berikut.

Jenis Film	Tidak Membeli Snack	Hanya Membeli Popcorn	Hanya Membeli Soft Drink	Membeli Popcorn dan Soft Drink
Film Aksi 🔫	30%	20%	10%	40%
Film Keluarga 👨‍👩‍👧‍👦	45%	20%	15%	20%
Film Horor 👻	50%	10%	10%	30%

Soal 5 (40 poin) Kemungkinan pengunjung yang membeli popcorn. P(🍿) = ….

Soal 6 (40 poin) Kemungkinan pengunjung yang menonton film aksi bersamaan dengan membeli popcorn atau soft drink. P(🔫 ∧ (🍿 ∨ 🥤)) = ….

Soal 7 (65 poin) Jika diketahui pengunjung hanya membeli soft drink saja, berapa kemungkinan ia menonton film horor? P(👻|🥤) = ….

---

Model Linier link

Soal 8–9 Seorang peneliti ingin membuat model prediksi skor UTBK seorang anak SMA berdasarkan nilai rapor Matematika (berkisar dari 0–100).

Model yang digunakan adalah persamaan linier adalah

$$ f(M; \alpha, \beta) = a + \beta M $$

dengan

• $M$ adalah nilai rapor Matematika ($0 \leq M \leq 100$).
• $\alpha, \beta$ adalah parameter yang harus dicari (dioptimasi).

Berikut adalah data siswa yang diberikan.

Siswa ke-$i$	Nilai Matematika ($M$)	Skor UTBK ($y$)
1	95	785
2	86	790
3	68	600

Kemudian, kriteria yang digunakan untuk mencari $\alpha$ dan $\beta$ adalah dengan meminimalkan nilai fungsi loss $L(\alpha, \beta)$ berikut.

$$ L(\alpha, \beta) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (y_i - (\alpha + \beta M_i))^2 \newcommand{\b}[1]{\mathbf{#1}} $$

dengan $n = 3$ pada konteks ini.

Soal 8 (20 poin) Hitung nilai fungsi $L(\alpha, \beta)$ ketika $\alpha = 227$ dan $\beta = 6.0$.

Soal 9 (80 poin) Carilah nilai $\alpha$ dan $\beta$ yang meminimalkan fungsi $L(\alpha, \beta)$.

Catatan penting: Cari nilai $\alpha$ dan $\beta$ yang menghasilkan $L(\alpha, \beta)$ sekecil mungkin terlebih dahulu, baru kemudian dibulatkan sesuai permintaan soal. Saat sudah dibulatkan, solusinya belum tentu menjadi yang paling optimal lagi di presisi tersebut.

---

Kemiripan Vektor link

Soal 10–21 Dalam bidang Natural Language Processing (NLP) modern, sebuah token atau kata biasanya direpresentasikan dalam bentuk vektor di ruang berdimensi tinggi. Misalnya, diberikan representasi vektor dari beberapa kata berikut.

$$ \begin{align*} \text{senang} &= (21, 10) \\ \text{pria} &= (6, 29) \\ \text{wanita} &= (30, 24) \\ \text{ayah} &= (11, 26) \\ \text{ibu} &= (36, 19) \\ \text{raja} &= (8, 36) \\ \text{ratu} &= (32, 29) \\ \text{sedih} &= (18, 19) \\ \text{menang} &= (26, 8) \\ \text{kalah} &= (23, 16) \end{align*} $$

Vektor-vektor ini bisa dimanipulasi dengan operasi tambah dan kurang.  

Contoh terkenal:

$$ \text{raja} + \text{wanita} − \text{pria} \approx \text{ratu}, \quad \text{ayah} + \text{wanita} − \text{pria} \approx \text{ibu}. $$

Artinya ada vektor translasi ($\text{wanita} - \text{pria}$) yang bisa mengubah kata maskulin menjadi versi feminin.

Soal 10 (10 poin) Berapakah jarak Euclidean dari vektor $\text{raja}$ dan $\text{kalah}$?

Rumus Euclidean distance dari dua buah vektor $(x_1,y_1)$ dan $(x_2, y_2)$ adalah

$$ \sqrt{(x_1 − x_2)^2 + (y_1 − y_2)^2}. $$

Soal 11 (15 poin) Berapa nilai vektor $\text{senang} + \text{kalah} - \text{menang}$?

Soal 12–21 Aji, seorang peneliti bahasa multi galaksi, menemukan bahasa alien kuno dengan 10 kata sebagai berikut.

$$ \begin{align*} \text{Gohok} &= (34, 37) \\ \text{Subi} &= (28, 29) \\ \text{Matot} &= (14, 35) \\ \text{Befar} &= (38, 31) \\ \text{Dursit} &= (38, 40) \\ \text{Gien} &= (29, 19) \\ \text{Ibakuz} &= (24, 20) \\ \text{Gelon} &= (11, 46) \\ \text{Wazuke} &= (10, 42) \\ \text{Nusgen} &= (22, 30). \end{align*} $$

Diketahui bahwa ke-10 kata ini adalah terjemahan persis dari ke-10 kata bahasa Indonesia di atas (senang, pria, wanita, …, kalah). Namun, Aji tidak tahu pasangan tepatnya.

Temukan pasangan kata antara bahasa alien dan bahasa Indonesia, dengan memanfaatkan fakta bahwa struktur vektor antar kata di bahasa alien sama seperti di bahasa Indonesia.

Soal 12 (13 poin) Gohok

Soal 13 (13 poin) Subi

Soal 14 (13 poin) Matot

Soal 15 (13 poin) Befar

Soal 16 (13 poin) Dursit

Soal 17 (13 poin) Gien

Soal 18 (13 poin) Ibakuz

Soal 19 (13 poin) Gelon

Soal 20 (13 poin) Wazuke

Soal 21 (13 poin) Nusgen

---

Konvolusi link

Soal 22–25 Sebuah citra digital $\b I$ dapat direpresentasikan sebagai matriks berukuran $x \times y$, di mana setiap elemen matriks $\b I_{i,j}$​ menyatakan nilai piksel pada baris ke-$i$ dan kolom ke-$j$.

Kernel adalah matriks kecil (misalnya $3 \times 3$ atau $5 \times 5$) yang digeser di atas citra. Kernel $\b K$ adalah sebuah matriks kecil berukuran $m \times n$ yang berfungsi untuk mengekstrak pola tertentu dari citra $\b I$, di mana kernel $\b K$ biasanya berukuran lebih kecil dibandingkan dengan citra $\b I$, yakni $x \geq m$ dan $y \geq n$.

Konvolusi adalah operasi dot product (yakni, perkalian antarelemen di kedua matriks yang kemudian dijumlahkan) antara kernel $\b K$ dan potongan citra dari $\b I$, yakni patch (submatriks) $\b J$, di mana ukuran patch $\b J$ sama dengan kernel $\b K$. Jika ada dua vektor dengan panjang yang sama,

$$ \b a = [a_1, a_2, \dots, a_n], \quad \b b = [b_1, b_2, ..., b_n]. $$

Maka dot product didefinisikan sebagai

$$ \b a \cdot \b b = \sum_{i=1}^n a_i b_i = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdots + a_n b_n. $$

Proses konvolusi sendiri dapat didefinisikan sebagai berikut. Konvolusi pada keseluruhan citra $\b I$ menggunakan kernel $\b K$ bisa dinotasikan sebagai $\b K * \b I$, di mana hasilnya akan menghasilkan citra keluaran $\b S$.

Dari gambar terlihat bahwa proses dot product terjadi antara kernel $\b K$ dan patch $\b J$ di mana masing-masing elemen dari $\b K$ dan $\b J$ dikalikan, kemudian hasilnya dijumlahkan.  

Berikut merupakan contoh ukuran gambar input $3 \times 4$ dan kernel $2 \times 2$ yang menghasilkan ukuran gambar output $2 \times 3$.

Hubungan Konvolusi dengan Stride dan Padding

Proses konvolusi tidak lepas dari stride dan padding.  

Stride adalah seberapa jauh kernel bergeser tiap langkah. Contohnya:

• Jika stride = 1, kernel bergeser 1 piksel.
• Jika stride = 2, kernel bergeser 2 piksel.
• Jika stride = n, kernel bergeser n piksel.

Berikut merupakan contoh stride = 1 dan stride = 2 dengan ukuran gambar input $5 \times 5$ dan kernel $3 \times 3$.

Padding adalah penambahan lapisan piksel di tepi gambar untuk menjaga ukuran output. Contohnya:

• Jika padding = 0, tidak ada penambahan piksel, maka ukuran gambar output lebih kecil dari ukuran gambar input.
• Jika padding = “same”, maka ukuran gambar output sama dengan ukuran gambar input (asumsi stride = 1).
• Jika padding = n, terdapat penambahan n piksel di setiap sisi gambar (kiri, kanan, atas, bawah), sehingga total bertambah $2n$ piksel. Jadi total penambahan ukuran gambar adalah sebanyak $2n$ piksel (karena kiri + kanan dan atas + bawah).

Berikut merupakan contoh padding = “same” dan stride = 1 dengan ukuran gambar input $5 \times 5$ dan kernel $3 \times 3$.

Anda diminta untuk memprediksi ukuran akhir citra setelah melalui beberapa lapisan konvolusi dengan ukuran kernel, stride, dan padding yang berbeda.  

Soal 22 (20 poin) Ukuran awal citra $\b I$ adalah $32 \times 32$.

• Konvolusi 1: kernal $3 \times 3$, padding = “same”, stride = 1.

Berapakah ukuran citra akhir $\b S$?

Soal 23 (30 poin) Ukuran citra awal $\b I$ adalah $32 \times 32$.

• Konvolusi 1: kernel $3 \times 3$, padding = “same”, stride = 1.
• Konvolusi 2: kernel $5 \times 5$, padding = 0, stride = 2.

Berapakah ukuran citra akhir $\b S$?

Soal 24 (40 poin) Ukuran citra awal $\b I$ adalah $64 \times 64$.

• Konvolusi 1: kernel $7 \times 7$, padding = 3, stride = 2.
• Konvolusi 2: kernel $3 \times 3$, padding = “same”, stride = 2.
• Konvolusi 3: kernel $1 \times 1$, padding = 0, stride = 1.

Berapakah ukuran citra akhir $\b S$?

Soal 25 (75 poin) Ukuran citra awal $\b I$ adalah $128 \times 64$.

• Konvolusi 1: kernel $7 \times 3$, padding = (3, 1), stride = (2, 1).
• Konvolusi 2: kernel $5 \times 5$, padding = 2, stride = 2.
• Konvolusi 3: kernel $3 \times 3$, padding = “same”, stride = 1.
• Konvolusi 4: kernel $1 \times 7$, padding = (0, 3), stride = (1, 2).
• Konvolusi 5: kernel $3 \times 3$, padding = 0, stride = 2.

Berapakah ukuran citra akhir $\b S$?

---

Pemodelan Bahasa link

Soal 26–40 Barisan DNA tersusun oleh urutan nukleotida yang terdiri dari empat basa nitrogen: adenin (A), timin (T), guanin (G), dan sitosin (C). Diketahui sampel DNA dari 3 spesies berbeda sebagai berikut.

Urutan DNA	Spesies
GATTATAAAGCA	Kucing
AATCTAATTATG	Kucing
ACAAAAAATTTC	Kucing
CATAAAGAAATA	Kucing
ACGACGCGATCG	Bebek
CGCGAGAGAGCG	Bebek
GCTGCGTGTCAG	Bebek
CGAGCTAGCAGC	Bebek
CCAGGGGAGCCC	Ikan
TTAGGTCAAGGC	Ikan
CGGTCCCCAAAG	Ikan
AGCCGGGGCAAG	Ikan

Anda diminta untuk membuat sebuah sistem yang dapat memprediksi spesies berdasarkan DNA yang diberikan dengan memanfaatkan data latih yang tersedia.

Namun, karena sedang berlibur, Anda tidak memiliki waktu untuk membangun sistem kecerdasan buatan dari awal.

Anda pun meyakini bahwa pola kemunculan basa nitrogren pada untaian DNA dari masing-masing spesies cukup berbeda sehingga sebenarnya dapat diklasifikasikan bahkan tanpa bantuan mesin atau komputer sekalipun.

Diberikan beberapa untaian DNA berikut, tentukanlah spesiesnya (Kucing, Bebek, atau Ikan). 

Soal 26 (13 poin) CCGGCTCGTAAG

Soal 27 (13 poin) CATGAAAATATA

Soal 28 (13 poin) TAATAACACATA

Soal 29 (13 poin) TCGCTCGCACGT

Soal 30 (13 poin) GCACGCGCAGAT

Soal 31 (13 poin) TTTCCCGCTGGG

Soal 32 (13 poin) CGGGCTTCCCGG

Soal 33 (13 poin) GTCACTATCACG

Soal 34 (13 poin) CGAAATTTATTA

Soal 35 (13 poin) GCGCTATATGCG

Soal 36 (13 poin) GGCAGGTAGCCC

Soal 37 (13 poin) ACAAATAAACCA

Soal 38 (13 poin) ATGAGGGCCCCG

Soal 39 (13 poin) AAAAACTATTAT

Soal 40 (13 poin) CGCTCTAGCGCA