Notasi Sigma
Huruf $\sum$ digunakan untuk penjumlahan. Pada dokumen ini, $\sum X_i$ akan dianggap sebagai $X_1 + X_2 + X_3 + \cdots$ sampai bilangan tertentu, dan variabel indeks adalah $i$ kecuali diberi tahu.
Statistika Kelompok
Diberikan data dalam bentuk tabel seperti berikut.
| Kelas Ke- $(i)$ | Interval | Frekuensi $(f_i)$ |
|---|---|---|
| 1 | 0–4 | 5 |
| 2 | 5–9 | 5 |
| 3 | 10–14 | 5 |
| 4 | 15–19 | 7 |
| 5 | 20–24 | 4 |
| 6 | 25–29 | 3 |
Setiap kelas ke-$i$ memiliki properti:
- frekuensi $(f_i)$, seberapa banyak data yang masuk pada interval tersebut.
- batas bawah/atas ($b_i$ dan $B_i$), angka paling kecil/besar pada interval.
- Misal, pada kelas kedua, batas bawahnya adalah 5 dan batas atasnya adalah 9.
- Sebuah data $x_j$ akan masuk pada kelas ke-$i$ jika $b_i \leq x_j \leq B_i$.
- tepi bawah/atas ($t_i$ dan $T_i$), perpanjangan dari batas bawah/atas.
- Pada kelas kedua, tepi bawahnya adalah 4,5 dan tepi atasnya adalah 9,5.
- Jika data bukan bilangan bulat, maka data $x_j$ akan masuk pada kelas ke-$i$ jika $t_i \leq x_j < T_i$.
- lebar $(\ell)$, selisih tepi atas dan tepi bawah: $$ \ell = T_i - t_i. $$
- titik tengah $(x_i)$, digunakan untuk mewakili suatu interval: $$ x_i = \frac{t_i + T_i}{2} = \frac{b_i + B_i}{2}. $$
Banyak frekuensi biasanya dinyatakan dengan $N$, sehingga $N = \sum f_i$.
Untuk mendeskripsikan data tersebut, ada beberapa ukuran.
Ukuran pemusatan data
Mean $(\bar x)$
Mean tanpa rataan sementara
$$ \bar x = \frac{\sum x_i f_i}{N} $$
Namun, jika data yang dihitung cukup kompleks, cara ini akan menjadi lama.
Mean dengan rataan sementara
$$ \bar x = \bar x_s + \frac{\sum f_i d_i}{N} $$
di mana
- $\bar x_s$ adalah rataan sementara; dan
- $d_i = x_i - \bar x_s$ adalah simpangan data terhadap rataan sementara.
atau
$$ \bar x = \bar x_s + \ell \frac{\sum f_i u_i}{N} $$
di mana
- $u_i$ adalah urutan data, di mana urutan data $\bar x_s$ adalah 0.
Modus $(Z)$
Modus
$$ Z = t_m + \ell \left( \frac{d}{d + D} \right) $$
di mana
- kelas ke-$m$ adalah kelas modus;
- $t_m$ adalah tepi bawah kelas ke-$m$;
- $d$ dan $D$ adalah selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sebelumnya dan sesudahnya: $$ d = f_m - f_{m - 1} \qquad D = f_m - f_{m + 1}. $$
Ukuran letak data
Kuartil $(Q)$
Kuartil membagi data menjadi empat bagian.
Pertama, tambah kolom frekuensi kumulatif.
| Kelas Ke- $(i)$ | Interval | Frekuensi $(f_i)$ | F. Kumulatif $(F_i)$ |
|---|---|---|---|
| 1 | 0–4 | 5 | 5 |
| 2 | 5–9 | 5 | 10 |
| 3 | 10–14 | 5 | 15 |
| 4 | 15–19 | 7 | 22 |
| 5 | 20–24 | 4 | 26 |
| 6 | 25–29 | 3 | 29 |
Kuartil ke-$q$
$$ Q_q = t_k + \ell \left( \frac{\frac{q}{4}N - F_{k - 1}}{f_k} \right) $$
di mana
- $k$ adalah kelas kuartil ke-$q$, yaitu pada saat $\frac{q}{4}$ berada pada frekuensi kumulatif kelas tersebut.
Median $(\tilde x)$ data akan terletak pada $Q_2$.
Desil $(D)$
Desil membagi data menjadi sepuluh bagian.
Desil ke-$q$
$$ D_q = t_k + \ell \left( \frac{\frac{q}{10}N - F_{k - 1}}{f_k} \right) $$
di mana
- $k$ adalah kelas desil ke-$q$, yaitu pada saat $\frac{q}{10}$ berada pada frekuensi kumulatif kelas tersebut.
Persentil $(P)$
Persentil membagi data menjadi seratus bagian.
Persentil ke-$q$
$$ P_q = t_k + \ell \left( \frac{\frac{q}{100}N - F_{k - 1}}{f_k} \right) $$
di mana
- $k$ adalah kelas persentil ke-$q$, yaitu pada saat $\frac{q}{100}$ berada pada frekuensi kumulatif kelas tersebut.
Ukuran penyebaran data
Jangkauan data
- Jangkauan data: $R = x_n - x_1$.
- Jangkauan antarkuartil (hamparan): $H = Q_3 - Q_1$.
- Simpangan kuartil: $Q_d = \frac{1}{2} (Q_3 - Q_1)$.
Simpangan
- Simpangan rata-rata (selisih)
- Tunggal: $$ \mathrm{SRR} = \frac{1}{N} \sum |x_i - \bar x|. $$
- Kelompok: $$ \mathrm{SRR} = \frac{1}{N} \sum f_i |x_i - \bar x|. $$
- Ragam (varians)
- Tunggal: $$ s^2 = \frac{1}{N} \sum (x_i - \bar x)^2 ; \qquad s^2 = \frac{1}{N} \sum x_i^2 - \left( \frac{1}{N} \sum x_i \right)^2. $$
- Kelompok: $$ s^2 = \frac{1}{N} \sum f_i (x_i - \bar x)^2 $$
- Simpangan baku (standar deviasi) adalah akar dari ragam.
- $s = \sqrt{s^2}.$